Vyřešit 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Postup použití kvadratické rovnice

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -1,1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+1 číslem 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Sloučením x a 2x získáte 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Sečtením -1 a 2 získáte 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Sloučením 3x a -2x získáte x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte -1 za a, 1 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocněte číslo 1 na druhou.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, když ± je plus. Přidejte uživatele -1 do skupiny \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1+\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{5} od čísla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Vydělte číslo -1-\sqrt{5} číslem -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Proměnná x se nemůže rovnat žádné z těchto hodnot: -1,1, protože není definováno dělení nulou. Vynásobte obě strany rovnice číslem \left(x-1\right)\left(x+1\right), nejmenším společným násobkem čísel x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo x+1 číslem 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Sloučením x a 2x získáte 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Sečtením -1 a 2 získáte 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odečtěte x^{2} od obou stran.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Sloučením 3x a -2x získáte x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Odečtěte 1 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$x-x^{2}=-1$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Dělení číslem -1 ruší násobení číslem -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Vydělte číslo 1 číslem -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Vydělte číslo -1 číslem -1.

$$x^{2}-x=1$$

Vydělte -1, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 1 do skupiny \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Činitel x^{2}-x+\frac{1}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$