Vyřešit (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Vyřešit pro: a

$$a\leq 1$$

Postup řešení

Vynásobte obě strany rovnice hodnotou 2. Protože je 2 kladné, směr nerovnice zůstane stejný.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Rozviňte výraz \left(2a-5\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Rozviňte výraz \left(a-3\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k a^{2}-6a+9, najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 2 číslem \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Vyjádřete 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} jako jeden zlomek.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Vykraťte 2 a 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Sloučením 4a^{2} a -2a^{2} získáte 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Sloučením -20a a 12a získáte -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Odečtěte 18 od 25 a dostanete 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Sečtením 7 a 1 získáte 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Odečtěte 2a^{2} od obou stran.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Sloučením 2a^{2} a -2a^{2} získáte 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Odečtěte 8 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$-8a\geq -8$$

Vydělte obě strany hodnotou -8. Protože je -8 záporné, směr nerovnice se změní.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Vydělte číslo -8 číslem -8 a dostanete 1.

$$a\leq 1$$