Vyřešit 1/n+1/frac{1{2}n^-frac{1{2}}}

$$\frac { \frac { 1 } { n + 1 } } { \frac { 1 } { 2 } n ^ { - \frac { 1 } { 2 } } }$$

Vyhodnotit

$$\frac{2\sqrt{n}}{n+1}$$

Postup řešení

Vyjádřete \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}} jako jeden zlomek.

$$\frac{1}{\left(n+1\right)\times \frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo n+1 číslem \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{\left(\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\right)n^{-\frac{1}{2}}}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo \frac{1}{2}n+\frac{1}{2} číslem n^{-\frac{1}{2}}.

$$\frac{1}{\frac{1}{2}nn^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}$$

Pokud chcete vynásobit mocniny stejného mocněnce, sečtěte jejich mocnitele. Sečtením 1 a -\frac{1}{2} získáte \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}$$

Derivovat vzhledem k n

$$\frac{1-n}{\sqrt{n}\left(n+1\right)^{2}}$$

Postup použití pravidla pro derivování složené funkce (řetězového pravidla)

Vyjádřete \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}} jako jeden zlomek.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{\left(n+1\right)\times \frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}})$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo n+1 číslem \frac{1}{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{\left(\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}\right)n^{-\frac{1}{2}}})$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo \frac{1}{2}n+\frac{1}{2} číslem n^{-\frac{1}{2}}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{\frac{1}{2}nn^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}})$$

Pokud chcete vynásobit mocniny stejného mocněnce, sečtěte jejich mocnitele. Sečtením 1 a -\frac{1}{2} získáte \frac{1}{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}})$$

Pokud je F složením dvou diferencovatelných funkcí f\left(u\right) a u=g\left(x\right), tzn. pokud F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), derivací funkce f je násobek derivace F vzhledem k u a derivace g vzhledem k x, tzn. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(\frac{1}{2}\sqrt{n}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{2}\sqrt{n}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}})$$

Derivace mnohočlenu je součtem derivací jeho členů. Derivace konstanty je 0. Derivace členu ax^{n} je nax^{n-1}.

$$-\left(\frac{1}{2}\sqrt{n}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2}\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}-1}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}-1}\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$\left(\frac{1}{2}\sqrt{n}+\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}\right)^{-2}\left(-\frac{1}{4}n^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}n^{-\frac{3}{2}}\right)$$