Přejít k hlavnímu obsahu
Derivovat vzhledem k z
Tick mark Image
Vyhodnotit
Tick mark Image

Sdílet

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\cos(z))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h}\right)
Pro funkci f\left(x\right) je derivace limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, protože h se blíží k 0, pokud taková limita existuje.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z+h)-\cos(z)}{h}
Použijte vzorec součtu pro kosinus.
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(z)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(z)\sin(h)}{h}
Vytkněte \cos(z) před závorku.
\left(\lim_{h\to 0}\cos(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Zapište limitu.
\cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Využijte skutečnost, že z je konstanta při počítání limit, pokud se h blíží nule (0).
\cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z)
Limita \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} je 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Aby bylo možné vyhodnotit limitu \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, je nejdříve nutné vynásobit čitatele a jmenovatele číslem \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslem \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Použijte Pythagorovu větu.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Zapište limitu.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Limita \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} je 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Využijte skutečnost, že funkce \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je při hodnotě 0 spojitá.
-\sin(z)
Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(z).