Vyřešit cosA--015

$$\cos A - - 015$$

Derivovat vzhledem k A

$$-\sin(A)$$

Postup použití definice derivace

Vynásobením 0 a 15 získáte 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)-0)$$

Vynásobením -1 a 0 získáte 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)+0)$$

Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))$$

Pro funkci f\left(x\right) je derivace limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, protože h se blíží k 0, pokud taková limita existuje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}\right)$$

Použijte vzorec součtu pro kosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}$$

Vytkněte \cos(A) před závorku.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(A)\sin(h)}{h}$$

Zapište limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Využijte skutečnost, že A je konstanta při počítání limit, pokud se h blíží nule (0).

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} je 1.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)$$

Aby bylo možné vyhodnotit limitu \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, je nejdříve nutné vynásobit čitatele a jmenovatele číslem \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslem \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Použijte Pythagorovu větu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Zapište limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} je 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Využijte skutečnost, že funkce \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je při hodnotě 0 spojitá.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A).

$$-\sin(A)$$

Vyhodnotit

$$\cos(A)$$