Vyřešit =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Rozložit

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Postup řešení

Pokud chcete výraz vynásobit, vyřešte rovnici, ve které se rovná 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -9 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 20. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=\frac{1}{2}$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 20x^{4}+31x^{2}-9 číslem 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 a dostanete 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu 9 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 10. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Podle faktoru binomická x-k je součinitel polynomu pro každý kořenový k. Vydělte číslo 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 číslem 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 a dostanete 5x^{2}+9. Pokud chcete rozložit výsledek, vyřešte rovnici, ve které se rovná: 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 5, b hodnotou 0 a c hodnotou 9.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Polynom 5x^{2}+9 není rozložitelný, protože nemá žádné racionální kořeny.

$$5x^{2}+9$$

Přepište rozložený výraz pomocí získaných kořenů.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Vyhodnotit

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$