Resol {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resoleu x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 5y en tots dos costats.

$$x-5y=5$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$x-5y=5$$

Sumeu 5y als dos costats de l'equació.

$$x=5y+5$$

Substituïu 5+5y per x a l'altra equació, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Multipliqueu 6 per 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Sumeu 30y i -4y.

$$26y+30=7$$

Resteu 30 als dos costats de l'equació.

$$26y=-23$$

Dividiu els dos costats per 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituïu -\frac{23}{26} per y a x=5y+5. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Multipliqueu 5 per -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Sumeu 5 i -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 5y en tots dos costats.

$$x-5y=5$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Resteu 5y en tots dos costats.

$$x-5y=5$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Per igualar x i 6x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 6 i tots els termes de cada costat de la segona per 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Simplifiqueu.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Resteu 6x-4y=7 de 6x-30y=30 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Sumeu 6x i -6x. Els termes 6x i -6x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-30y+4y=30-7$$

Sumeu -30y i 4y.

$$-26y=30-7$$

Sumeu 30 i -7.

$$-26y=23$$

Dividiu els dos costats per -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Substituïu -\frac{23}{26} per y a 6x-4y=7. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Multipliqueu -4 per -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Resteu \frac{46}{13} als dos costats de l'equació.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Dividiu els dos costats per 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$