Resol {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Resoleu x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Passos per utilitzar la substitució

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$8x+2y=46$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$8x=-2y+46$$

Dividiu els dos costats per 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{8} per -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Substituïu \frac{-y+23}{4} per x a l'altra equació, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Multipliqueu 7 per \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Sumeu -\frac{7y}{4} i 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Resteu \frac{161}{4} als dos costats de l'equació.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{5}{4}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substituïu \frac{27}{5} per y a x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Per multiplicar -\frac{1}{4} per \frac{27}{5}, multipliqueu el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. A continuació, reduïu la fracció als termes més baixos sempre que sigui possible.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Sumeu \frac{23}{4} i -\frac{27}{20} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=\frac{22}{5}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Per igualar 8x i 7x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 7 i tots els termes de cada costat de la segona per 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Simplifiqueu.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Resteu 56x+24y=376 de 56x+14y=322 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Sumeu 56x i -56x. Els termes 56x i -56x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$14y-24y=322-376$$

Sumeu 14y i -24y.

$$-10y=322-376$$

Sumeu 322 i -376.

$$-10y=-54$$

Dividiu els dos costats per -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Substituïu \frac{27}{5} per y a 7x+3y=47. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Multipliqueu 3 per \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Resteu \frac{81}{5} als dos costats de l'equació.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Dividiu els dos costats per 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$