Riješi {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Riješite za x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5y s obje strane.

$$x-5y=5$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x-5y=5$$

Dodajte 5y na obje strane jednačine.

$$x=5y+5$$

Zamijenite 5+5y za x u drugoj jednačini, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Pomnožite 6 i 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Saberite 30y i -4y.

$$26y+30=7$$

Oduzmite 30 s obje strane jednačine.

$$26y=-23$$

Podijelite obje strane s 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Zamijenite -\frac{23}{26} za y u x=5y+5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Pomnožite 5 i -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Saberite 5 i -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5y s obje strane.

$$x-5y=5$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5y s obje strane.

$$x-5y=5$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Da bi x i 6x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 6 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Pojednostavite.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Oduzmite 6x-4y=7 od 6x-30y=30 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Saberite 6x i -6x. Izrazi 6x i -6x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-30y+4y=30-7$$

Saberite -30y i 4y.

$$-26y=30-7$$

Saberite 30 i -7.

$$-26y=23$$

Podijelite obje strane s -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Zamijenite -\frac{23}{26} za y u 6x-4y=7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Pomnožite -4 i -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Oduzmite \frac{46}{13} s obje strane jednačine.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Podijelite obje strane s 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$