Riješi {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Riješite za x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$8x+2y=46$$

Oduzmite 2y s obje strane jednačine.

$$8x=-2y+46$$

Podijelite obje strane s 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Pomnožite \frac{1}{8} i -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Zamijenite \frac{-y+23}{4} za x u drugoj jednačini, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Pomnožite 7 i \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Saberite -\frac{7y}{4} i 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Oduzmite \frac{161}{4} s obje strane jednačine.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{5}{4}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=\frac{27}{5}$$

Zamijenite \frac{27}{5} za y u x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Pomnožite -\frac{1}{4} i \frac{27}{5} tako što ćete pomnožiti brojilac sa brojiocem i imenilac sa imeniocem. Zatim reducirajte razlomak na najniže termine ako je moguće.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Saberite \frac{23}{4} i -\frac{27}{20} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Da bi 8x i 7x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 7 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Pojednostavite.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Oduzmite 56x+24y=376 od 56x+14y=322 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Saberite 56x i -56x. Izrazi 56x i -56x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$14y-24y=322-376$$

Saberite 14y i -24y.

$$-10y=322-376$$

Saberite 322 i -376.

$$-10y=-54$$

Podijelite obje strane s -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Zamijenite \frac{27}{5} za y u 7x+3y=47. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Pomnožite 3 i \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Oduzmite \frac{81}{5} s obje strane jednačine.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Podijelite obje strane s 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Sistem je riješen.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$