Решете {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Решаване за x, y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0,576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0,884615385$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 5y и от двете страни.

$$x-5y=5$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x-5y=5$$

Съберете 5y към двете страни на уравнението.

$$x=5y+5$$

Заместете 5+5y вместо x в другото уравнение, 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

Умножете 6 по 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

Съберете 30y с -4y.

$$26y+30=7$$

Извадете 30 и от двете страни на уравнението.

$$26y=-23$$

Разделете двете страни на 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Заместете -\frac{23}{26} вместо y в x=5y+5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

Умножете 5 по -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

Съберете 5 с -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 5y и от двете страни.

$$x-5y=5$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да бъде преобразувано като задача за умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 5y и от двете страни.

$$x-5y=5$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

За да направите x и 6x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 6, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

Опростявайте.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

Извадете 6x-4y=7 от 6x-30y=30, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

Съберете 6x с -6x. Условията 6x и -6x да се откажете, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-30y+4y=30-7$$

Съберете -30y с 4y.

$$-26y=30-7$$

Съберете 30 с -7.

$$-26y=23$$

Разделете двете страни на -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

Заместете -\frac{23}{26} вместо y в 6x-4y=7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

Умножете -4 по -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

Извадете \frac{46}{13} и от двете страни на уравнението.

$$6x=\frac{45}{13}$$

Разделете двете страни на 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$