Решете {l}{8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right.$$

Решаване за x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4,4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5,4$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$8x+2y=46$$

Извадете 2y и от двете страни на уравнението.

$$8x=-2y+46$$

Разделете двете страни на 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

Умножете \frac{1}{8} по -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

Заместете \frac{-y+23}{4} вместо x в другото уравнение, 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

Умножете 7 по \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Съберете -\frac{7y}{4} с 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

Извадете \frac{161}{4} и от двете страни на уравнението.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{5}{4}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$y=\frac{27}{5}$$

Заместете \frac{27}{5} вместо y в x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

Умножете -\frac{1}{4} по \frac{27}{5}, като умножавате числител по числител и знаменател по знаменател. След това съкратете дробта до най-малкия възможен брой членове.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Съберете \frac{23}{4} и -\frac{27}{20}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x=\frac{22}{5}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

За да направите 8x и 7x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 7, а всички членове от двете страни на второто по 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Опростявайте.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

Извадете 56x+24y=376 от 56x+14y=322, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Съберете 56x с -56x. Условията 56x и -56x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$14y-24y=322-376$$

Съберете 14y с -24y.

$$-10y=322-376$$

Съберете 322 с -376.

$$-10y=-54$$

Разделете двете страни на -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

Заместете \frac{27}{5} вместо y в 7x+3y=47. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

Умножете 3 по \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

Извадете \frac{81}{5} и от двете страни на уравнението.

$$7x=\frac{154}{5}$$

Разделете двете страни на 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Системата сега е решена.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$