حل {l}{x=5y+5}{6x-4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 5y + 5 } \\ { 6 x - 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{15}{26}\approx 0.576923077$$

$$y=-\frac{23}{26}\approx -0.884615385$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 5y من الطرفين.

$$x-5y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-5y=5$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$x=5y+5$$

عوّض عن x بالقيمة 5+5y في المعادلة الأخرى، 6x-4y=7.

$$6\left(5y+5\right)-4y=7$$

اضرب 6 في 5+5y.

$$30y+30-4y=7$$

اجمع 30y مع -4y.

$$26y+30=7$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$26y=-23$$

قسمة طرفي المعادلة على 26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{23}{26} في x=5y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=5\left(-\frac{23}{26}\right)+5$$

اضرب 5 في -\frac{23}{26}.

$$x=-\frac{115}{26}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{115}{26}.

$$x=\frac{15}{26}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 5y من الطرفين.

$$x-5y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{-4-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4-\left(-5\times 6\right)}&\frac{1}{-4-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{26}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{26}\\-\frac{23}{26}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 5y من الطرفين.

$$x-5y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-5y=5,6x-4y=7$$

لجعل x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$6x+6\left(-5\right)y=6\times 5,6x-4y=7$$

تبسيط.

$$6x-30y=30,6x-4y=7$$

اطرح 6x-4y=7 من 6x-30y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-30y+4y=30-7$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30y+4y=30-7$$

اجمع -30y مع 4y.

$$-26y=30-7$$

اجمع 30 مع -7.

$$-26y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على -26.

$$y=-\frac{23}{26}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{23}{26} في 6x-4y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-4\left(-\frac{23}{26}\right)=7$$

اضرب -4 في -\frac{23}{26}.

$$6x+\frac{46}{13}=7$$

اطرح \frac{46}{13} من طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{45}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{15}{26}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{26},y=-\frac{23}{26}$$