حل y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=1,y+x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=1$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$y=2x+1$$

عوّض عن y بالقيمة 2x+1 في المعادلة الأخرى، y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

اجمع 2x مع x.

$$3x+1=7$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=2x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times 2+1$$

اضرب 2 في 2.

$$y=4+1$$

اجمع 1 مع 4.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-2x=1,y+x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=5,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-2x=1,y+x=7$$

اطرح y+x=7 من y-2x=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-2x-x=1-7$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x-x=1-7$$

اجمع -2x مع -x.

$$-3x=1-7$$

اجمع 1 مع -7.

$$-3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2=7$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=2$$