حل {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+2y=46$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$8x=-2y+46$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+23}{4} في المعادلة الأخرى، 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

اضرب 7 في \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

اجمع -\frac{7y}{4} مع 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

اطرح \frac{161}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{27}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{5} في x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في \frac{27}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

اجمع \frac{23}{4} مع -\frac{27}{20} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{22}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

لجعل 8x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

تبسيط.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

اطرح 56x+24y=376 من 56x+14y=322 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

اجمع 56x مع -56x. حذف الحدين 56x و-56x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y-24y=322-376$$

اجمع 14y مع -24y.

$$-10y=322-376$$

اجمع 322 مع -376.

$$-10y=-54$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{27}{5} في 7x+3y=47. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

اضرب 3 في \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

اطرح \frac{81}{5} من طرفي المعادلة.

$$7x=\frac{154}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$