حل y+1/16=sqrt{y/4-(y-2)^2}

$$y + \frac { 1 } { 16 } = \sqrt { \frac { y } { 4 } - ( y - 2 ) ^ { 2 } }$$

حل مسائل y

$$y=\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i=1.03125+0.96875i$$

$$y=\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i=1.03125-0.96875i$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(y+\frac{1}{16}\right)^{2}=\left(\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(y+\frac{1}{16}\right)^{2}.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}=\left(\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(y-2\right)^{2}.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}=\left(\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y^{2}-4y+4\right)}\right)^{2}$$

لمعرفة مقابل y^{2}-4y+4، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}=\left(\sqrt{\frac{y}{4}-y^{2}+4y-4}\right)^{2}$$

اجمع \frac{y}{4} مع 4y لتحصل على \frac{17}{4}y.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}=\left(\sqrt{\frac{17}{4}y-y^{2}-4}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{\frac{17}{4}y-y^{2}-4} بالأس 2 لتحصل على \frac{17}{4}y-y^{2}-4.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}=\frac{17}{4}y-y^{2}-4$$

اطرح \frac{17}{4}y من الطرفين.

$$y^{2}+\frac{1}{8}y+\frac{1}{256}-\frac{17}{4}y=-y^{2}-4$$

اجمع \frac{1}{8}y مع -\frac{17}{4}y لتحصل على -\frac{33}{8}y.

$$y^{2}-\frac{33}{8}y+\frac{1}{256}=-y^{2}-4$$

إضافة y^{2} لكلا الجانبين.

$$y^{2}-\frac{33}{8}y+\frac{1}{256}+y^{2}=-4$$

اجمع y^{2} مع y^{2} لتحصل على 2y^{2}.

$$2y^{2}-\frac{33}{8}y+\frac{1}{256}=-4$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$2y^{2}-\frac{33}{8}y+\frac{1}{256}+4=0$$

اجمع \frac{1}{256} مع 4 لتحصل على \frac{1025}{256}.

$$2y^{2}-\frac{33}{8}y+\frac{1025}{256}=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 2 وعن b بالقيمة -\frac{33}{8} وعن c بالقيمة \frac{1025}{256} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\sqrt{\left(-\frac{33}{8}\right)^{2}-4\times 2\times \frac{1025}{256}}}{2\times 2}$$

تربيع -\frac{33}{8} من خلال تربيع كل من البسط والمقام في الكسر.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\sqrt{\frac{1089}{64}-4\times 2\times \frac{1025}{256}}}{2\times 2}$$

اضرب -4 في 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\sqrt{\frac{1089}{64}-8\times \frac{1025}{256}}}{2\times 2}$$

اضرب -8 في \frac{1025}{256}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\sqrt{\frac{1089}{64}-\frac{1025}{32}}}{2\times 2}$$

اجمع \frac{1089}{64} مع -\frac{1025}{32} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\sqrt{-\frac{961}{64}}}{2\times 2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد -\frac{961}{64}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{33}{8}\right)±\frac{31}{8}i}{2\times 2}$$

مقابل -\frac{33}{8} هو \frac{33}{8}.

$$y=\frac{\frac{33}{8}±\frac{31}{8}i}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 2.

$$y=\frac{\frac{33}{8}±\frac{31}{8}i}{4}$$

حل المعادلة y=\frac{\frac{33}{8}±\frac{31}{8}i}{4} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع \frac{33}{8} مع \frac{31}{8}i.

$$y=\frac{\frac{33}{8}+\frac{31}{8}i}{4}$$

اقسم \frac{33}{8}+\frac{31}{8}i على 4.

$$y=\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i$$

حل المعادلة y=\frac{\frac{33}{8}±\frac{31}{8}i}{4} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح \frac{31}{8}i من \frac{33}{8}.

$$y=\frac{\frac{33}{8}-\frac{31}{8}i}{4}$$

اقسم \frac{33}{8}-\frac{31}{8}i على 4.

$$y=\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i$$

تم حل المعادلة الآن.

$$y=\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i y=\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i$$

استبدال \frac{33}{32}+\frac{31}{32}i بـ y في المعادلة y+\frac{1}{16}=\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y-2\right)^{2}}.

$$\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i+\frac{1}{16}=\sqrt{\frac{\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i}{4}-\left(\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i-2\right)^{2}}$$

تبسيط. تفي القيمة y=\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i بالمعادلة.

$$\frac{35}{32}+\frac{31}{32}i=\frac{35}{32}+\frac{31}{32}i$$

استبدال \frac{33}{32}-\frac{31}{32}i بـ y في المعادلة y+\frac{1}{16}=\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y-2\right)^{2}}.

$$\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i+\frac{1}{16}=\sqrt{\frac{\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i}{4}-\left(\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i-2\right)^{2}}$$

تبسيط. تفي القيمة y=\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i بالمعادلة.

$$\frac{35}{32}-\frac{31}{32}i=\frac{35}{32}-\frac{31}{32}i$$

سرد كل حلول y+\frac{1}{16}=\sqrt{\frac{y}{4}-\left(y-2\right)^{2}}.

$$y=\frac{33}{32}+\frac{31}{32}i y=\frac{33}{32}-\frac{31}{32}i$$