حل x^2+x+1+11/x^2+x-1=14

$$x ^ { 2 } + x + 1 + \frac { 11 } { x ^ { 2 } + x - 1 } = 14$$

حل مسائل x

$$x=-2$$

$$x=1$$

$$x=3$$

$$x=-4$$

خطوات الحل

اضرب طرفي المعادلة في \left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right).

$$\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} في x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} وجمع الحدود المتشابهة.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في 5 لتحصل على -\frac{5}{4}.

$$\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -\frac{5}{4} مع \frac{1}{4} لتحصل على -1.

$$\left(x^{2}+x-1\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x^{2}+x-1 في x^{2}.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} في x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} وجمع الحدود المتشابهة.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في 5 لتحصل على -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -\frac{5}{4} مع \frac{1}{4} لتحصل على -1.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-1\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x^{2}+x-1 في x.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع x^{3} مع x^{3} لتحصل على 2x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -x^{2} مع x^{2} لتحصل على 0.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} في x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} وجمع الحدود المتشابهة.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في 5 لتحصل على -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -\frac{5}{4} مع \frac{1}{4} لتحصل على -1.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -x مع x لتحصل على 0.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

اجمع -1 مع 11 لتحصل على 10.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

لمعرفة مقابل \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 14 في x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=\left(14x+7\sqrt{5}+7\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 14x+7\sqrt{5}+7 في x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} وجمع الحدود المتشابهة.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{7}{2}$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{7}{2} في 5 لتحصل على -\frac{35}{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{35}{2}+\frac{7}{2}$$

اجمع -\frac{35}{2} مع \frac{7}{2} لتحصل على -14.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-14$$

اطرح 14x^{2} من الطرفين.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10-14x^{2}=14x-14$$

اجمع x^{2} مع -14x^{2} لتحصل على -13x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10=14x-14$$

اطرح 14x من الطرفين.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x=-14$$

إضافة 14 لكلا الجانبين.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x+14=0$$

اجمع 10 مع 14 لتحصل على 24.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+24-14x=0$$

أعد ترتيب المعادلة لتصبح في الصيغة العامة. رتب الحدود من أكبر أس إلى أصغر أس.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

بواسطة نسبي Root نظرية ، فان كافة جذور نسبي الخاصة بمتعدد الحدود موجودة في النموذج \frac{p}{q} ، حيث p يقسم ال24 الثابت وq المعامل الرائدة 1. سرد جميع المرشحين \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

يمكنك العثور على أحد هذه الجذور من خلال محاولة إدخال كل القيم الصحيحة بدءاً من القيمة المطلقة الصغرى. إذا لم يتم العثور على جذور صحيحة، فجرب استخدام الأعداد الكسرية.

$$x=1$$

بواسطة المعامل نظرية ، يعد الx-k عاملا لحدود الشكل لكل k جذر. اقسم x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24 على x-1 لتحصل على x^{3}+3x^{2}-10x-24. حل المعادلة التي يساويها الناتج 0.

$$x^{3}+3x^{2}-10x-24=0$$

بواسطة نسبي Root نظرية ، فان كافة جذور نسبي الخاصة بمتعدد الحدود موجودة في النموذج \frac{p}{q} ، حيث p يقسم ال-24 الثابت وq المعامل الرائدة 1. سرد جميع المرشحين \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

يمكنك العثور على أحد هذه الجذور من خلال محاولة إدخال كل القيم الصحيحة بدءاً من القيمة المطلقة الصغرى. إذا لم يتم العثور على جذور صحيحة، فجرب استخدام الأعداد الكسرية.

$$x=-2$$

بواسطة المعامل نظرية ، يعد الx-k عاملا لحدود الشكل لكل k جذر. اقسم x^{3}+3x^{2}-10x-24 على x+2 لتحصل على x^{2}+x-12. حل المعادلة التي يساويها الناتج 0.

$$x^{2}+x-12=0$$

يمكن حل كل معادلات النموذج ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. استبدل 1 بـ a، و1 بـ b و-12 بـ c في الصيغة التربيعية.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

قم بإجراء العمليات الحسابية.

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

حل المعادلة x^{2}+x-12=0 عندما تكون العلامة ± علامة جمع و± علامة طرح.

$$x=-4 x=3$$

إدراج كافة الحلول التي تم العثور عليها.

$$x=1 x=-2 x=-4 x=3$$