حل x+y=9;5x-2y=4

$$x + y = 9 ; 5 x - 2 y = 4$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -y+9 في المعادلة الأخرى، 5x-2y=4.

$$5\left(-y+9\right)-2y=4$$

اضرب 5 في -y+9.

$$-5y+45-2y=4$$

اجمع -5y مع -2y.

$$-7y+45=4$$

اطرح 45 من طرفي المعادلة.

$$-7y=-41$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في x=-y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{41}{7}+9$$

اجمع 9 مع -\frac{41}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\\-\frac{5}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\times 4\\\frac{5}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5y=5\times 9,5x-2y=4$$

تبسيط.

$$5x+5y=45,5x-2y=4$$

اطرح 5x-2y=4 من 5x+5y=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+5y+2y=45-4$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+2y=45-4$$

اجمع 5y مع 2y.

$$7y=45-4$$

اجمع 45 مع -4.

$$7y=41$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في 5x-2y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2\times \frac{41}{7}=4$$

اضرب -2 في \frac{41}{7}.

$$5x-\frac{82}{7}=4$$

أضف \frac{82}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{110}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{22}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$