حل x+5y=13text{dan}2x-y=4

$$x + 5 y = 13 \text { dan } 2 x - y = 4$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+5y=13,2x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+5y=13$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$x=-5y+13$$

عوّض عن x بالقيمة -5y+13 في المعادلة الأخرى، 2x-y=4.

$$2\left(-5y+13\right)-y=4$$

اضرب 2 في -5y+13.

$$-10y+26-y=4$$

اجمع -10y مع -y.

$$-11y+26=4$$

اطرح 26 من طرفي المعادلة.

$$-11y=-22$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-5y+13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\times 2+13$$

اضرب -5 في 2.

$$x=-10+13$$

اجمع 13 مع -10.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+5y=13,2x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times 2}&-\frac{5}{-1-5\times 2}\\-\frac{2}{-1-5\times 2}&\frac{1}{-1-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 13+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{2}{11}\times 13-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+5y=13,2x-y=4$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\times 5y=2\times 13,2x-y=4$$

تبسيط.

$$2x+10y=26,2x-y=4$$

اطرح 2x-y=4 من 2x+10y=26 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+10y+y=26-4$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+y=26-4$$

اجمع 10y مع y.

$$11y=26-4$$

اجمع 26 مع -4.

$$11y=22$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2=4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$