حل x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$x=-3y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+6 في المعادلة الأخرى، 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

اضرب 5 في -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

اجمع -15y مع -2y.

$$-17y+30=13$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$-17y=-17$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-3y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3+6$$

اجمع 6 مع -3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

تبسيط.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

اطرح 5x-2y=13 من 5x+15y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+2y=30-13$$

اجمع 15y مع 2y.

$$17y=30-13$$

اجمع 30 مع -13.

$$17y=17$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 5x-2y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2=13$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$