حل x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-2y=12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=12$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+12$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+12 في المعادلة الأخرى، 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

اضرب 9 في -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

اجمع -18y مع -2y.

$$-20y+108=12$$

اطرح 108 من طرفي المعادلة.

$$-20y=-96$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{24}{5} في x=-2y+12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

اضرب -2 في \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

اجمع 12 مع -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-2y=12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-2y=12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

لجعل x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

تبسيط.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

اطرح 9x-2y=12 من 9x+18y=108 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

اجمع 9x مع -9x. حذف الحدين 9x و-9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y+2y=108-12$$

اجمع 18y مع 2y.

$$20y=108-12$$

اجمع 108 مع -12.

$$20y=96$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{24}{5} في 9x-2y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

اضرب -2 في \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

أضف \frac{48}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$9x=\frac{108}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$