حل 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

حل مسائل n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

خطوات استخدام الصيغة التربيعية

يمكن حل كل المعادلات بالصيغة ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. وتقدم الصيغة التربيعية حلين، أحدهما عندما يكون ± جمعاً والآخر عندما يكون طرحاً.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 8 وعن b بالقيمة -106 وعن c بالقيمة -7500 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

مربع -106.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

اضرب -4 في 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

اضرب -32 في -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

اجمع 11236 مع 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

مقابل -106 هو 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

اضرب 2 في 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

حل المعادلة n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 106 مع 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

اقسم 106+2\sqrt{62809} على 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

حل المعادلة n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{62809} من 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

اقسم 106-2\sqrt{62809} على 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

تم حل المعادلة الآن.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

خطوات حل معادلة من الدرجة الثانية

يمكن حل المعادلات من الدرجة الثانية مثل هذه المعادلة بإكمال المربع. لإكمال المربع، يجب أن تكون المعادلة بالصيغة x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

أضف 7500 إلى طرفي المعادلة.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

ناتج طرح -7500 من نفسه يساوي 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

اطرح -7500 من 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

القسمة على 8 تؤدي إلى التراجع عن الضرب في 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

اختزل الكسر \frac{-106}{8} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 2 وشطبه.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

اختزل الكسر \frac{7500}{8} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 4 وشطبه.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

اقسم -\frac{53}{4}، معامل الحد x، على 2 لتحصل على -\frac{53}{8}، ثم اجمع مربع -\frac{53}{8} مع طرفي المعادلة. تجعل هذه الخطوة الطرف الأيسر من المعادلة مربعاً تاماً.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

تربيع -\frac{53}{8} من خلال تربيع كل من البسط والمقام في الكسر.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

اجمع \frac{1875}{2} مع \frac{2809}{64} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

عامل n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. بشكل عام، عندما تكون x^{2}+bx+c مربعا مثاليا، يمكن تحليلها دائما ك "\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}".

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

استخدم الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

تبسيط.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

أضف \frac{53}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$