حل 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-15y-2=0$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$7x-15y=2$$

أضف 15y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=15y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{15y+2}{7} في المعادلة الأخرى، x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

اجمع \frac{15y}{7} مع 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

اطرح \frac{2}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{29}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{19}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{29} في x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

اضرب \frac{15}{7} في \frac{19}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

اجمع \frac{2}{7} مع \frac{285}{203} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{49}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

لجعل 7x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

تبسيط.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

اطرح 7x+14y=21 من 7x-15y-2=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-14y-2=-21$$

اجمع -15y مع -14y.

$$-29y-2=-21$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-29y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{29} في x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

اضرب 2 في \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

اطرح \frac{38}{29} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{49}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$