حل 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=2$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

اجمع \frac{5y}{4} مع 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{45}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

اضرب \frac{5}{4} في \frac{18}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

تبسيط.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

اطرح 4x+40y=164 من 4x-5y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y-40y=2-164$$

اجمع -5y مع -40y.

$$-45y=2-164$$

اجمع 2 مع -164.

$$-45y=-162$$

قسمة طرفي المعادلة على -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في x+10y=41. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

اضرب 10 في \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$