حل 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=-14$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} في المعادلة الأخرى، 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

اضرب 7 في \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

اجمع \frac{35y}{4} مع y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

أضف \frac{49}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{39}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

اضرب \frac{5}{4} في 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

اجمع -\frac{7}{2} مع \frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

لجعل 4x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

اطرح 28x+4y=-20 من 28x-35y=-98 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-35y-4y=-98+20$$

اجمع -35y مع -4y.

$$-39y=-98+20$$

اجمع -98 مع 20.

$$-39y=-78$$

قسمة طرفي المعادلة على -39.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 7x+y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+2=-5$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$7x=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$