حل 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=2$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2+y}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

اضرب 2 في \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

اطرح \frac{4}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

اطرح 2x-y=3 من 3x-y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x-2x=2-3$$

اجمع 3x مع -2x.

$$x=2-3$$

اجمع 2 مع -3.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 2x-y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

اضرب 2 في -1.

$$-2-y=3$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-5$$