حل 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$3x+9-6y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-6y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x-2y=12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-6y=-9$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6y-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 6y-9.

$$x=2y-3$$

عوّض عن x بالقيمة 2y-3 في المعادلة الأخرى، -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

اضرب -2 في 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

اجمع -4y مع -2y.

$$-6y+6=12$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-6y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=2y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

اضرب 2 في -1.

$$x=-2-3$$

اجمع -3 مع -2.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$3x+9-6y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-6y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x-2y=12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 6y من الطرفين.

$$3x+9-6y=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$3x-6y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$-2x-2y=12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

لجعل 3x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

تبسيط.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

اطرح -6x-6y=36 من -6x+12y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

اجمع -6x مع 6x. حذف الحدين -6x و6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+6y=18-36$$

اجمع 12y مع 6y.

$$18y=18-36$$

اجمع 18 مع -36.

$$18y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -2x-2y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

اضرب -2 في -1.

$$-2x+2=12$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-2x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=-1$$