حل 3x+2y=12,12=9x-8y

$$3 x + 2 y = 12,12 = 9 x - 8 y$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-8y=12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=12$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+4 في المعادلة الأخرى، 9x-8y=12.

$$9\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-8y=12$$

اضرب 9 في -\frac{2y}{3}+4.

$$-6y+36-8y=12$$

اجمع -6y مع -8y.

$$-14y+36=12$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$-14y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=\frac{12}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{7} في x=-\frac{2}{3}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{12}{7}+4$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{12}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{8}{7}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{8}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-8y=12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 9}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-8\right)-2\times 9}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\times 12+\frac{1}{21}\times 12\\\frac{3}{14}\times 12-\frac{1}{14}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$9x-8y=12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=12,9x-8y=12$$

لجعل 3x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$9\times 3x+9\times 2y=9\times 12,3\times 9x+3\left(-8\right)y=3\times 12$$

تبسيط.

$$27x+18y=108,27x-24y=36$$

اطرح 27x-24y=36 من 27x+18y=108 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$27x-27x+18y+24y=108-36$$

اجمع 27x مع -27x. حذف الحدين 27x و-27x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y+24y=108-36$$

اجمع 18y مع 24y.

$$42y=108-36$$

اجمع 108 مع -36.

$$42y=72$$

قسمة طرفي المعادلة على 42.

$$y=\frac{12}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{12}{7} في 9x-8y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-8\times \frac{12}{7}=12$$

اضرب -8 في \frac{12}{7}.

$$9x-\frac{96}{7}=12$$

أضف \frac{96}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$9x=\frac{180}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{20}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{12}{7}$$