حل 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+10y=102$$

اطرح 10y من طرفي المعادلة.

$$3x=-10y+102$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{10y}{3}+34 في المعادلة الأخرى، 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

اضرب 3 في -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

اجمع -10y مع y.

$$-9y+102=84$$

اطرح 102 من طرفي المعادلة.

$$-9y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{10}{3}y+34. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

اضرب -\frac{10}{3} في 2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

اجمع 34 مع -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{82}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

اطرح 3x+y=84 من 3x+10y=102 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-y=102-84$$

اجمع 10y مع -y.

$$9y=102-84$$

اجمع 102 مع -84.

$$9y=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 3x+y=84. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2=84$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$3x=82$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{82}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$