حل 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

حل مسائل x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

خطوات استخدام التحليل بالتجميع

لحل المعادلة، حلل عوامل الجانب الأيمن بالتجميع. يجب أولاً إعادة كتابة الجانب الأيمن كالتالي 3x^{2}+ax+bx-60. للعثور علي a وb ، قم باعداد نظام ليتم حله.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

بما ان ab سالبه ، فان الa وb لديها العلامات المقابلة. بما أن a+b سالب، فهذا يعني أن للرقم السالب قيمة مطلقة أكبر من الرقم الموجب. إدراج كافة أزواج الأعداد التي تعطي الناتج -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

حساب المجموع لكل زوج.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

الحل هو الزوج الذي يعطي المجموع -31.

$$a=-36 b=5$$

إعادة كتابة 3x^{2}-31x-60 ك \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

قم بتحليل ال3x في أول و5 في المجموعة الثانية.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

تحليل المصطلحات الشائعة x-12 باستخدام الخاصية توزيع.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

للعثور علي حلول المعادلات ، قم بحل x-12=0 و 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

خطوات استخدام الصيغة التربيعية

يمكن حل كل المعادلات بالصيغة ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. وتقدم الصيغة التربيعية حلين، أحدهما عندما يكون ± جمعاً والآخر عندما يكون طرحاً.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 3 وعن b بالقيمة -31 وعن c بالقيمة -60 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

مربع -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

اضرب -4 في 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

اضرب -12 في -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

اجمع 961 مع 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

مقابل -31 هو 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

اضرب 2 في 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

حل المعادلة x=\frac{31±41}{6} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 31 مع 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

اقسم 72 على 6.

$$x=12$$

حل المعادلة x=\frac{31±41}{6} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 41 من 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

اختزل الكسر \frac{-10}{6} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 2 وشطبه.

$$x=-\frac{5}{3}$$

تم حل المعادلة الآن.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

خطوات حل معادلة من الدرجة الثانية

يمكن حل المعادلات من الدرجة الثانية مثل هذه المعادلة بإكمال المربع. لإكمال المربع، يجب أن تكون المعادلة بالصيغة x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

أضف 60 إلى طرفي المعادلة.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

ناتج طرح -60 من نفسه يساوي 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

اطرح -60 من 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

القسمة على 3 تؤدي إلى التراجع عن الضرب في 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

اقسم 60 على 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

اقسم -\frac{31}{3}، معامل الحد x، على 2 لتحصل على -\frac{31}{6}، ثم اجمع مربع -\frac{31}{6} مع طرفي المعادلة. تجعل هذه الخطوة الطرف الأيسر من المعادلة مربعاً تاماً.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

تربيع -\frac{31}{6} من خلال تربيع كل من البسط والمقام في الكسر.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

اجمع 20 مع \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

عامل x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. بشكل عام، عندما تكون x^{2}+bx+c مربعا مثاليا، يمكن تحليلها دائما ك "\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}".

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

استخدم الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

تبسيط.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

أضف \frac{31}{6} إلى طرفي المعادلة.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$