حل 23x-25y=-169;25x-23y=-167

$$23 x - 25 y = - 169 ; 25 x - 23 y = - 167$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$23x-25y=-169$$

أضف 25y إلى طرفي المعادلة.

$$23x=25y-169$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$x=\frac{1}{23}\left(25y-169\right)$$

اضرب \frac{1}{23} في 25y-169.

$$x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{25y-169}{23} في المعادلة الأخرى، 25x-23y=-167.

$$25\left(\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}\right)-23y=-167$$

اضرب 25 في \frac{25y-169}{23}.

$$\frac{625}{23}y-\frac{4225}{23}-23y=-167$$

اجمع \frac{625y}{23} مع -23y.

$$\frac{96}{23}y-\frac{4225}{23}=-167$$

أضف \frac{4225}{23} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{96}{23}y=\frac{384}{23}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{96}{23}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{25}{23}\times 4-\frac{169}{23}$$

اضرب \frac{25}{23} في 4.

$$x=\frac{100-169}{23}$$

اجمع -\frac{169}{23} مع \frac{100}{23} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&-\frac{-25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\\-\frac{25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}&\frac{25}{96}\\-\frac{25}{96}&\frac{23}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}\left(-169\right)+\frac{25}{96}\left(-167\right)\\-\frac{25}{96}\left(-169\right)+\frac{23}{96}\left(-167\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

لجعل 23x و25x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 25 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 23.

$$25\times 23x+25\left(-25\right)y=25\left(-169\right),23\times 25x+23\left(-23\right)y=23\left(-167\right)$$

تبسيط.

$$575x-625y=-4225,575x-529y=-3841$$

اطرح 575x-529y=-3841 من 575x-625y=-4225 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$575x-575x-625y+529y=-4225+3841$$

اجمع 575x مع -575x. حذف الحدين 575x و-575x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-625y+529y=-4225+3841$$

اجمع -625y مع 529y.

$$-96y=-4225+3841$$

اجمع -4225 مع 3841.

$$-96y=-384$$

قسمة طرفي المعادلة على -96.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 25x-23y=-167. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$25x-23\times 4=-167$$

اضرب -23 في 4.

$$25x-92=-167$$

أضف 92 إلى طرفي المعادلة.

$$25x=-75$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=4$$