حل 2x-3y=11text{and}3x+y=22

$$2 x - 3 y = 11 \text { and } 3 x + y = 22$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=11$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+11.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+11}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+y=22.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}\right)+y=22$$

اضرب 3 في \frac{3y+11}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{33}{2}+y=22$$

اجمع \frac{9y}{2} مع y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{33}{2}=22$$

اطرح \frac{33}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{2}y=\frac{11}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3+11}{2}$$

اجمع \frac{11}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{3}{11}\times 22\\-\frac{3}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=11,3x+y=22$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 11,2\times 3x+2y=2\times 22$$

تبسيط.

$$6x-9y=33,6x+2y=44$$

اطرح 6x+2y=44 من 6x-9y=33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-9y-2y=33-44$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-2y=33-44$$

اجمع -9y مع -2y.

$$-11y=33-44$$

اجمع 33 مع -44.

$$-11y=-11$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 3x+y=22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+1=22$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$3x=21$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=1$$