حل 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$2x-3y=-10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}-5 في المعادلة الأخرى، 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

اضرب 5 في \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

اجمع \frac{15y}{2} مع -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

اجمع -25 مع 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

أضف 21 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{2}y=21$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{42}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{42}{13} في x=\frac{3}{2}y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

اضرب \frac{3}{2} في \frac{42}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

اجمع -5 مع \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

تبسيط.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

اطرح 10x-2y+8=0 من 10x-15y+50=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y+2y+50-8=0$$

اجمع -15y مع 2y.

$$-13y+50-8=0$$

اجمع 50 مع -8.

$$-13y+42=0$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$-13y=-42$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{42}{13} في 5x-y+4=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

اجمع -\frac{42}{13} مع 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

اطرح \frac{10}{13} من طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$