حل 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$2x-2y=14$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$3y+5x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-2y=14$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=2y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 14+2y.

$$x=y+7$$

عوّض عن x بالقيمة y+7 في المعادلة الأخرى، 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

اضرب 5 في y+7.

$$5y+35+3y=3$$

اجمع 5y مع 3y.

$$8y+35=3$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$8y=-32$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=y+7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4+7$$

اجمع 7 مع -4.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$2x-2y=14$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$3y+5x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$2x-2y=14$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$3y+5x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

تبسيط.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

اطرح 10x+6y=6 من 10x-10y=70 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-6y=70-6$$

اجمع -10y مع -6y.

$$-16y=70-6$$

اجمع 70 مع -6.

$$-16y=64$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في 5x+3y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

اضرب 3 في -4.

$$5x-12=3$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-4$$