حل (a_{4}+5/2)^2=(a_{4}-a_{1})(a_{4}+7d)

$$( a _ { 4 } + \frac { 5 } { 2 } ) ^ { 2 } = ( a _ { 4 } - a _ { 1 } ) ( a _ { 4 } + 7 d )$$

حل مسائل a_1

$$\left\{\begin{matrix}a_{1}=\frac{28a_{4}d-20a_{4}-25}{4\left(a_{4}+7d\right)}\text{, }&a_{4}\neq -7d\\a_{1}\in \mathrm{R}\text{, }&a_{4}=-\frac{5}{2}\text{ and }d=\frac{5}{14}\end{matrix}\right.$$

خطوات حل المعادلة الخطية

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(a_{4}+\frac{5}{2}\right)^{2}.

$$a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}=\left(a_{4}-a_{1}\right)\left(a_{4}+7d\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب a_{4}-a_{1} في a_{4}+7d.

$$a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}=a_{4}^{2}+7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d$$

قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$a_{4}^{2}+7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d=a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}$$

اطرح a_{4}^{2} من الطرفين.

$$7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d=a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}-a_{4}^{2}$$

اجمع a_{4}^{2} مع -a_{4}^{2} لتحصل على 0.

$$7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d=5a_{4}+\frac{25}{4}$$

اطرح 7a_{4}d من الطرفين.

$$-a_{1}a_{4}-7a_{1}d=5a_{4}+\frac{25}{4}-7a_{4}d$$

اجمع كل الحدود التي تحتوي على a_{1}.

$$\left(-a_{4}-7d\right)a_{1}=5a_{4}+\frac{25}{4}-7a_{4}d$$

المعادلة بالصيغة العامة.

$$\left(-a_{4}-7d\right)a_{1}=\frac{25}{4}+5a_{4}-7a_{4}d$$

قسمة طرفي المعادلة على -a_{4}-7d.

$$\frac{\left(-a_{4}-7d\right)a_{1}}{-a_{4}-7d}=\frac{\frac{25}{4}+5a_{4}-7a_{4}d}{-a_{4}-7d}$$

القسمة على -a_{4}-7d تؤدي إلى التراجع عن الضرب في -a_{4}-7d.

$$a_{1}=\frac{\frac{25}{4}+5a_{4}-7a_{4}d}{-a_{4}-7d}$$

اقسم 5a_{4}+\frac{25}{4}-7a_{4}d على -a_{4}-7d.

$$a_{1}=-\frac{25+20a_{4}-28a_{4}d}{4\left(a_{4}+7d\right)}$$

حل مسائل a_4

$$\left\{\begin{matrix}a_{4}=-\frac{28a_{1}d+25}{4\left(a_{1}-7d+5\right)}\text{, }&a_{1}\neq 7d-5\\a_{4}\in \mathrm{R}\text{, }&d=\frac{5}{14}\text{ and }a_{1}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

خطوات حل المعادلة الخطية

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(a_{4}+\frac{5}{2}\right)^{2}.

$$a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}=\left(a_{4}-a_{1}\right)\left(a_{4}+7d\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب a_{4}-a_{1} في a_{4}+7d.

$$a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}=a_{4}^{2}+7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d$$

اطرح a_{4}^{2} من الطرفين.

$$a_{4}^{2}+5a_{4}+\frac{25}{4}-a_{4}^{2}=7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d$$

اجمع a_{4}^{2} مع -a_{4}^{2} لتحصل على 0.

$$5a_{4}+\frac{25}{4}=7a_{4}d-a_{1}a_{4}-7a_{1}d$$

اطرح 7a_{4}d من الطرفين.

$$5a_{4}+\frac{25}{4}-7a_{4}d=-a_{1}a_{4}-7a_{1}d$$

إضافة a_{1}a_{4} لكلا الجانبين.

$$5a_{4}+\frac{25}{4}-7a_{4}d+a_{1}a_{4}=-7a_{1}d$$

اطرح \frac{25}{4} من الطرفين.

$$5a_{4}-7a_{4}d+a_{1}a_{4}=-7a_{1}d-\frac{25}{4}$$

اجمع كل الحدود التي تحتوي على a_{4}.

$$\left(5-7d+a_{1}\right)a_{4}=-7a_{1}d-\frac{25}{4}$$

المعادلة بالصيغة العامة.

$$\left(a_{1}-7d+5\right)a_{4}=-7a_{1}d-\frac{25}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على -7d+5+a_{1}.

$$\frac{\left(a_{1}-7d+5\right)a_{4}}{a_{1}-7d+5}=\frac{-7a_{1}d-\frac{25}{4}}{a_{1}-7d+5}$$

القسمة على -7d+5+a_{1} تؤدي إلى التراجع عن الضرب في -7d+5+a_{1}.

$$a_{4}=\frac{-7a_{1}d-\frac{25}{4}}{a_{1}-7d+5}$$

اقسم -7a_{1}d-\frac{25}{4} على -7d+5+a_{1}.

$$a_{4}=-\frac{28a_{1}d+25}{4\left(a_{1}-7d+5\right)}$$