حل sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

حل مسائل x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{x^{2}-1} بالأس 2 لتحصل على x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{2x+1} بالأس 2 لتحصل على 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$x^{2}-1-2x=1$$

اطرح 1 من الطرفين.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

اطرح 1 من -1 لتحصل على -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

يمكن حل كل المعادلات بالصيغة ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. وتقدم الصيغة التربيعية حلين، أحدهما عندما يكون ± جمعاً والآخر عندما يكون طرحاً.

$$x^{2}-2x-2=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1 وعن b بالقيمة -2 وعن c بالقيمة -2 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

مربع -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

اضرب -4 في -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

اجمع 4 مع 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

مقابل -2 هو 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

حل المعادلة x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 2 مع 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

اقسم 2+2\sqrt{3} على 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

حل المعادلة x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{3} من 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

اقسم 2-2\sqrt{3} على 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

تم حل المعادلة الآن.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

استبدال \sqrt{3}+1 بـ x في المعادلة \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

تبسيط. تفي القيمة x=\sqrt{3}+1 بالمعادلة.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

استبدال 1-\sqrt{3} بـ x في المعادلة \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

تبسيط. تفي القيمة x=1-\sqrt{3} بالمعادلة.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

سرد كل حلول \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

حل مسائل x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{x^{2}-1} بالأس 2 لتحصل على x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{2x+1} بالأس 2 لتحصل على 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$x^{2}-1-2x=1$$

اطرح 1 من الطرفين.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

اطرح 1 من -1 لتحصل على -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

يمكن حل كل المعادلات بالصيغة ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. وتقدم الصيغة التربيعية حلين، أحدهما عندما يكون ± جمعاً والآخر عندما يكون طرحاً.

$$x^{2}-2x-2=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1 وعن b بالقيمة -2 وعن c بالقيمة -2 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

مربع -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

اضرب -4 في -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

اجمع 4 مع 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

مقابل -2 هو 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

حل المعادلة x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 2 مع 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

اقسم 2+2\sqrt{3} على 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

حل المعادلة x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{3} من 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

اقسم 2-2\sqrt{3} على 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

تم حل المعادلة الآن.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

استبدال \sqrt{3}+1 بـ x في المعادلة \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

تبسيط. تفي القيمة x=\sqrt{3}+1 بالمعادلة.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

استبدال 1-\sqrt{3} بـ x في المعادلة \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. التعبير \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} غير معرّف نظراً لأن المجذور لا يمكن أن يكون سالباً.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

للمعادلة \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} حل فريد.

$$x=\sqrt{3}+1$$