حل sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

حل مسائل x

$$x=2$$

خطوات الحل

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{5x-1} بالأس 2 لتحصل على 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{3x-2} بالأس 2 لتحصل على 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

اجمع 5x مع 3x لتحصل على 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

اطرح 2 من -1 لتحصل على -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{x-1} بالأس 2 لتحصل على x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

اطرح 8x-3 من طرفي المعادلة.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

لمعرفة مقابل 8x-3، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

اجمع x مع -8x لتحصل على -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

اجمع -1 مع 3 لتحصل على 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

توسيع \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

احسب -2 بالأس 2 لتحصل على 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

احسب \sqrt{5x-1} بالأس 2 لتحصل على 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

احسب \sqrt{3x-2} بالأس 2 لتحصل على 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

تطبيق خاصية التوزيع بضرب كل عنصر من 20x-4 في كل عنصر من 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

اجمع -40x مع -12x لتحصل على -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

اطرح 49x^{2} من الطرفين.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

اجمع 60x^{2} مع -49x^{2} لتحصل على 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

إضافة 28x لكلا الجانبين.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

اجمع -52x مع 28x لتحصل على -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

اطرح 4 من الطرفين.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

اطرح 4 من 8 لتحصل على 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

لحل المعادلة، حلل عوامل الجانب الأيمن بالتجميع. يجب أولاً إعادة كتابة الجانب الأيمن كالتالي 11x^{2}+ax+bx+4. للعثور علي a وb ، قم باعداد نظام ليتم حله.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

بما ان ab ايجابيه ، فa وb لها نفس العلامة. بما أن a+b سالب، فسيكون كل من a وb سالباً. إدراج كافة أزواج الأعداد التي تعطي الناتج 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

حساب المجموع لكل زوج.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

الحل هو الزوج الذي يعطي المجموع -24.

$$a=-22 b=-2$$

إعادة كتابة 11x^{2}-24x+4 ك \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

قم بتحليل ال11x في أول و-2 في المجموعة الثانية.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

تحليل المصطلحات الشائعة x-2 باستخدام الخاصية توزيع.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

للعثور علي حلول المعادلات ، قم بحل x-2=0 و 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

استبدال \frac{2}{11} بـ x في المعادلة \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. التعبير \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} غير معرّف نظراً لأن المجذور لا يمكن أن يكون سالباً.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

استبدال 2 بـ x في المعادلة \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

تبسيط. تفي القيمة x=2 بالمعادلة.

$$1=1$$

للمعادلة \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} حل فريد.

$$x=2$$