حل sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

حل مسائل x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

خطوات الحل

اطرح -\sqrt{19-x^{2}} من طرفي المعادلة.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{15+x^{2}} بالأس 2 لتحصل على 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{19-x^{2}} بالأس 2 لتحصل على 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

اجمع 4 مع 19 لتحصل على 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

اطرح 23-x^{2} من طرفي المعادلة.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

لمعرفة مقابل 23-x^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

اطرح 23 من 15 لتحصل على -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

اجمع x^{2} مع x^{2} لتحصل على 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

تربيع طرفي المعادلة.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 2 للحصول على 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

توسيع \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

احسب 4 بالأس 2 لتحصل على 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

احسب \sqrt{19-x^{2}} بالأس 2 لتحصل على 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

اطرح 304 من الطرفين.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

اطرح 304 من 64 لتحصل على -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

إضافة 16x^{2} لكلا الجانبين.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

اجمع -32x^{2} مع 16x^{2} لتحصل على -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

استبدل t بـx^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

يمكن حل كل معادلات النموذج ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. استبدل 4 بـ a، و-16 بـ b و-240 بـ c في الصيغة التربيعية.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

قم بإجراء العمليات الحسابية.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

حل المعادلة t=\frac{16±64}{8} عندما تكون العلامة ± علامة جمع و± علامة طرح.

$$t=10 t=-6$$

بما ان x=t^{2} ، يتم الحصول علي الحلول عن طريق تقييم x=±\sqrt{t} لt الايجابيه.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

استبدال \sqrt{10} بـ x في المعادلة \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

تبسيط. تفي القيمة x=\sqrt{10} بالمعادلة.

$$2=2$$

استبدال -\sqrt{10} بـ x في المعادلة \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

تبسيط. تفي القيمة x=-\sqrt{10} بالمعادلة.

$$2=2$$

سرد كل حلول \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$