حل {l}{75*y+30*x/5=3120}{100x+300y+520=3120}

$$\left.\begin{array} { l } { 75 \times y + 30 \cdot \frac { x } { 5 } = 3120 } \\ { 100 x + 300 y + 520 = 3120 } \end{array} \right\}$$

حل مسائل y، x

$$x=-130$$

$$y=52$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 5.

$$375y+30x=15600$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 520 من الطرفين.

$$100x+300y=3120-520$$

اطرح 520 من 3120 لتحصل على 2600.

$$100x+300y=2600$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$375y+30x=15600,300y+100x=2600$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$375y+30x=15600$$

اطرح 30x من طرفي المعادلة.

$$375y=-30x+15600$$

قسمة طرفي المعادلة على 375.

$$y=\frac{1}{375}\left(-30x+15600\right)$$

اضرب \frac{1}{375} في -30x+15600.

$$y=-\frac{2}{25}x+\frac{208}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2x}{25}+\frac{208}{5} في المعادلة الأخرى، 300y+100x=2600.

$$300\left(-\frac{2}{25}x+\frac{208}{5}\right)+100x=2600$$

اضرب 300 في -\frac{2x}{25}+\frac{208}{5}.

$$-24x+12480+100x=2600$$

اجمع -24x مع 100x.

$$76x+12480=2600$$

اطرح 12480 من طرفي المعادلة.

$$76x=-9880$$

قسمة طرفي المعادلة على 76.

$$x=-130$$

عوّض عن x بالقيمة -130 في y=-\frac{2}{25}x+\frac{208}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{2}{25}\left(-130\right)+\frac{208}{5}$$

اضرب -\frac{2}{25} في -130.

$$y=\frac{52+208}{5}$$

اجمع \frac{208}{5} مع \frac{52}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=52$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=52,x=-130$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 5.

$$375y+30x=15600$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 520 من الطرفين.

$$100x+300y=3120-520$$

اطرح 520 من 3120 لتحصل على 2600.

$$100x+300y=2600$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$375y+30x=15600,300y+100x=2600$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}375&30\\300&100\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{375\times 100-30\times 300}&-\frac{30}{375\times 100-30\times 300}\\-\frac{300}{375\times 100-30\times 300}&\frac{375}{375\times 100-30\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{285}&-\frac{1}{950}\\-\frac{1}{95}&\frac{1}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15600\\2600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{285}\times 15600-\frac{1}{950}\times 2600\\-\frac{1}{95}\times 15600+\frac{1}{76}\times 2600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-130\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=52,x=-130$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 5.

$$375y+30x=15600$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 520 من الطرفين.

$$100x+300y=3120-520$$

اطرح 520 من 3120 لتحصل على 2600.

$$100x+300y=2600$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$375y+30x=15600,300y+100x=2600$$

لجعل 375y و300y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 300 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 375.

$$300\times 375y+300\times 30x=300\times 15600,375\times 300y+375\times 100x=375\times 2600$$

تبسيط.

$$112500y+9000x=4680000,112500y+37500x=975000$$

اطرح 112500y+37500x=975000 من 112500y+9000x=4680000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$112500y-112500y+9000x-37500x=4680000-975000$$

اجمع 112500y مع -112500y. حذف الحدين 112500y و-112500y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9000x-37500x=4680000-975000$$

اجمع 9000x مع -37500x.

$$-28500x=4680000-975000$$

اجمع 4680000 مع -975000.

$$-28500x=3705000$$

قسمة طرفي المعادلة على -28500.

$$x=-130$$

عوّض عن x بالقيمة -130 في 300y+100x=2600. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$300y+100\left(-130\right)=2600$$

اضرب 100 في -130.

$$300y-13000=2600$$

أضف 13000 إلى طرفي المعادلة.

$$300y=15600$$

قسمة طرفي المعادلة على 300.

$$y=52$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=52,x=-130$$