حل {l}{4x-y=-14}{3x-y=-11}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-y=-14$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=y-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في y-14.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{4}-\frac{7}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-y=-11.

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

اضرب 3 في \frac{y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

اجمع \frac{3y}{4} مع -y.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

أضف \frac{21}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

اضرب \frac{1}{4} في 2.

$$x=\frac{1-7}{2}$$

اجمع -\frac{7}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

اطرح 3x-y=-11 من 4x-y=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x-3x=-14+11$$

اجمع 4x مع -3x.

$$x=-14+11$$

اجمع -14 مع 11.

$$x=-3$$

عوّض عن x بالقيمة -3 في 3x-y=-11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

اضرب 3 في -3.

$$-9-y=-11$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$-y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$