حل {l}{x-2/3-y-4/2=1}{2/x-3=4/y-2}

$$\left.\begin{array} { l } { \frac { x - 2 } { 3 } - \frac { y - 4 } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 2 } { x - 3 } = \frac { 4 } { y - 2 } } \end{array} \right\}$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(x-2\right)-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$2x-4-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في y-4.

$$2x-4-3y+12=6$$

اجمع -4 مع 12 لتحصل على 8.

$$2x+8-3y=6$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$2x-3y=6-8$$

اطرح 8 من 6 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ 3 لأن القسمة على صفر غير محددة. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في \left(x-3\right)\left(y-2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ x-3,y-2.

$$\left(y-2\right)\times 2=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y-2 في 2.

$$2y-4=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-3 في 4.

$$2y-4=4x-12$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$2y-4-4x=-12$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$2y-4x=-12+4$$

اجمع -12 مع 4 لتحصل على -8.

$$2y-4x=-8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=-2,-4x+2y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=-2$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1+\frac{3y}{2} في المعادلة الأخرى، -4x+2y=-8.

$$-4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+2y=-8$$

اضرب -4 في -1+\frac{3y}{2}.

$$-6y+4+2y=-8$$

اجمع -6y مع 2y.

$$-4y+4=-8$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{3}{2}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-1$$

اضرب \frac{3}{2} في 3.

$$x=\frac{9}{2}-1$$

اجمع -1 مع \frac{9}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(x-2\right)-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$2x-4-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في y-4.

$$2x-4-3y+12=6$$

اجمع -4 مع 12 لتحصل على 8.

$$2x+8-3y=6$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$2x-3y=6-8$$

اطرح 8 من 6 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ 3 لأن القسمة على صفر غير محددة. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في \left(x-3\right)\left(y-2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ x-3,y-2.

$$\left(y-2\right)\times 2=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y-2 في 2.

$$2y-4=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-3 في 4.

$$2y-4=4x-12$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$2y-4-4x=-12$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$2y-4x=-12+4$$

اجمع -12 مع 4 لتحصل على -8.

$$2y-4x=-8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=-2,-4x+2y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\times 2-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-2\right)-\frac{3}{8}\left(-8\right)\\-\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{2},y=3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 6، أقل مضاعف مشترك لـ 3,2.

$$2\left(x-2\right)-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-2.

$$2x-4-3\left(y-4\right)=6$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في y-4.

$$2x-4-3y+12=6$$

اجمع -4 مع 12 لتحصل على 8.

$$2x+8-3y=6$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$2x-3y=6-8$$

اطرح 8 من 6 لتحصل على -2.

$$2x-3y=-2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x مساوياً لـ 3 لأن القسمة على صفر غير محددة. لا يمكن أن يكون المتغير y مساوياً لـ 2 لأن القسمة على صفر غير محددة. ضرب طرفي المعادلة في \left(x-3\right)\left(y-2\right)، أقل مضاعف مشترك لـ x-3,y-2.

$$\left(y-2\right)\times 2=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y-2 في 2.

$$2y-4=\left(x-3\right)\times 4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x-3 في 4.

$$2y-4=4x-12$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$2y-4-4x=-12$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$2y-4x=-12+4$$

اجمع -12 مع 4 لتحصل على -8.

$$2y-4x=-8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=-2,-4x+2y=-8$$

لجعل 2x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\left(-2\right),2\left(-4\right)x+2\times 2y=2\left(-8\right)$$

تبسيط.

$$-8x+12y=8,-8x+4y=-16$$

اطرح -8x+4y=-16 من -8x+12y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x+12y-4y=8+16$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-4y=8+16$$

اجمع 12y مع -4y.

$$8y=8+16$$

اجمع 8 مع 16.

$$8y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في -4x+2y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+2\times 3=-8$$

اضرب 2 في 3.

$$-4x+6=-8$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-4x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=3$$