حل {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

اقسم 12 على -2 لتحصل على -6.

$$x+y=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

اطرح 12 من 5 لتحصل على -7.

$$5x-7-4y=17$$

إضافة 7 لكلا الجانبين.

$$5x-4y=17+7$$

اجمع 17 مع 7 لتحصل على 24.

$$5x-4y=24$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=-6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -y-6 في المعادلة الأخرى، 5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

اضرب 5 في -y-6.

$$-5y-30-4y=24$$

اجمع -5y مع -4y.

$$-9y-30=24$$

أضف 30 إلى طرفي المعادلة.

$$-9y=54$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

اضرب -1 في -6.

$$x=6-6$$

اجمع -6 مع 6.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

اقسم 12 على -2 لتحصل على -6.

$$x+y=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

اطرح 12 من 5 لتحصل على -7.

$$5x-7-4y=17$$

إضافة 7 لكلا الجانبين.

$$5x-4y=17+7$$

اجمع 17 مع 7 لتحصل على 24.

$$5x-4y=24$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

اقسم 12 على -2 لتحصل على -6.

$$x+y=-6$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب -4 في y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

اطرح 12 من 5 لتحصل على -7.

$$5x-7-4y=17$$

إضافة 7 لكلا الجانبين.

$$5x-4y=17+7$$

اجمع 17 مع 7 لتحصل على 24.

$$5x-4y=24$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

تبسيط.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

اطرح 5x-4y=24 من 5x+5y=-30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+4y=-30-24$$

اجمع 5y مع 4y.

$$9y=-30-24$$

اجمع -30 مع -24.

$$9y=-54$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في 5x-4y=24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

اضرب -4 في -6.

$$5x+24=24$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$5x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-6$$