حل {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -y+5 في المعادلة الأخرى، 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

اضرب 7 في -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

اجمع -7y مع 3y.

$$-4y+35=47$$

اطرح 35 من طرفي المعادلة.

$$-4y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

اضرب -1 في -3.

$$x=3+5$$

اجمع 5 مع 3.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

لجعل x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

تبسيط.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

اطرح 7x+3y=47 من 7x+7y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-3y=35-47$$

اجمع 7y مع -3y.

$$4y=35-47$$

اجمع 35 مع -47.

$$4y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 7x+3y=47. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

اضرب 3 في -3.

$$7x-9=47$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=56$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-3$$