حل {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$x+2y=4+3y$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x+2y-3y=4$$

اجمع 2y مع -3y لتحصل على -y.

$$x-y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$8-y+2y=2+3x$$

اجمع -y مع 2y لتحصل على y.

$$8+y=2+3x$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$8+y-3x=2$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$y-3x=2-8$$

اطرح 8 من 2 لتحصل على -6.

$$y-3x=-6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+4$$

عوّض عن x بالقيمة y+4 في المعادلة الأخرى، -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

اضرب -3 في y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

اجمع -3y مع y.

$$-2y-12=-6$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3+4$$

اجمع 4 مع -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$x+2y=4+3y$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x+2y-3y=4$$

اجمع 2y مع -3y لتحصل على -y.

$$x-y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$8-y+2y=2+3x$$

اجمع -y مع 2y لتحصل على y.

$$8+y=2+3x$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$8+y-3x=2$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$y-3x=2-8$$

اطرح 8 من 2 لتحصل على -6.

$$y-3x=-6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

اجمع 3 مع 1 لتحصل على 4.

$$x+2y=4+3y$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x+2y-3y=4$$

اجمع 2y مع -3y لتحصل على -y.

$$x-y=4$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$8-y+2y=2+3x$$

اجمع -y مع 2y لتحصل على y.

$$8+y=2+3x$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$8+y-3x=2$$

اطرح 8 من الطرفين.

$$y-3x=2-8$$

اطرح 8 من 2 لتحصل على -6.

$$y-3x=-6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

تبسيط.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

اطرح -3x+y=-6 من -3x+3y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-y=-12+6$$

اجمع 3y مع -y.

$$2y=-12+6$$

اجمع -12 مع 6.

$$2y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في -3x+y=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-3=-6$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$