حل {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$m+n=-3$$

اطرح n من طرفي المعادلة.

$$m=-n-3$$

عوّض عن m بالقيمة -n-3 في المعادلة الأخرى، -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

اضرب -3 في -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

اجمع 3n مع 2n.

$$5n+9=1$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$5n=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{8}{5} في m=-n-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

اضرب -1 في -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

اجمع -3 مع \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

لجعل m و-3m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

تبسيط.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

اطرح -3m+2n=1 من -3m-3n=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

اجمع -3m مع 3m. حذف الحدين -3m و3m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3n-2n=9-1$$

اجمع -3n مع -2n.

$$-5n=9-1$$

اجمع 9 مع -1.

$$-5n=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

عوّض عن n بالقيمة -\frac{8}{5} في -3m+2n=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

اضرب 2 في -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

أضف \frac{16}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$m=-\frac{7}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$