حل {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-8y=-12$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=8y-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y-12}{7} في المعادلة الأخرى، -4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

اضرب -4 في \frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

اجمع -\frac{32y}{7} مع 2y.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

اطرح \frac{48}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{18}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

اضرب \frac{8}{7} في \frac{3}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

اجمع -\frac{12}{7} مع \frac{12}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

لجعل 7x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

تبسيط.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

اطرح -28x+14y=21 من -28x+32y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

اجمع -28x مع 28x. حذف الحدين -28x و28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y-14y=48-21$$

اجمع 32y مع -14y.

$$18y=48-21$$

اجمع 48 مع -21.

$$18y=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$y=\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{2} في -4x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

اضرب 2 في \frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-4x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$