حل {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+2y=-33$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$7x=-2y-33$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y-33}{7} في المعادلة الأخرى، x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

اجمع -\frac{2y}{7} مع 9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

أضف \frac{33}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{61}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

اضرب -\frac{2}{7} في 8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

اجمع -\frac{33}{7} مع -\frac{16}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

لجعل 7x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

تبسيط.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

اطرح 7x+63y=455 من 7x+2y=-33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-63y=-33-455$$

اجمع 2y مع -63y.

$$-61y=-33-455$$

اجمع -33 مع -455.

$$-61y=-488$$

قسمة طرفي المعادلة على -61.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x+9y=65. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+9\times 8=65$$

اضرب 9 في 8.

$$x+72=65$$

اطرح 72 من طرفي المعادلة.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=8$$