حل {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-4y=-7$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=4y-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y-7}{5} في المعادلة الأخرى، -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

اضرب -6 في \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

اجمع -\frac{24y}{5} مع 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

اطرح \frac{42}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{16}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

اضرب \frac{4}{5} في -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

اجمع -\frac{7}{5} مع -\frac{8}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

لجعل 5x و-6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

تبسيط.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

اطرح -30x+40y=10 من -30x+24y=42 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

اجمع -30x مع 30x. حذف الحدين -30x و30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-40y=42-10$$

اجمع 24y مع -40y.

$$-16y=42-10$$

اجمع 42 مع -10.

$$-16y=32$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -6x+8y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

اضرب 8 في -2.

$$-6x-16=2$$

أضف 16 إلى طرفي المعادلة.

$$-6x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=-2$$