حل {l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-2y=13$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=2y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 2y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+\frac{13}{4} في المعادلة الأخرى، -2x+2y=1.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

اضرب -2 في \frac{y}{2}+\frac{13}{4}.

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

اجمع -y مع 2y.

$$y-\frac{13}{2}=1$$

أضف \frac{13}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{15}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{2} في x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

اضرب \frac{1}{2} في \frac{15}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15+13}{4}$$

اجمع \frac{13}{4} مع \frac{15}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

لجعل 4x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

تبسيط.

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

اطرح -8x+8y=4 من -8x+4y=-26 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-8y=-26-4$$

اجمع 4y مع -8y.

$$-4y=-26-4$$

اجمع -26 مع -4.

$$-4y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{15}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{2} في -2x+2y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

اضرب 2 في \frac{15}{2}.

$$-2x+15=1$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-2x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$