حل {l}{20x-y=4}{7+y=3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ 20 x - y = 4 }\\{ 7 + y = 3 x }\end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{3}{17}\approx -0.176470588$$

$$y = -\frac{128}{17} = -7\frac{9}{17} \approx -7.529411765$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$7+y-3x=0$$

اطرح 7 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$y-3x=-7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$20x-y=4,-3x+y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$20x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$20x=y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=\frac{1}{20}\left(y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{20} في y+4.

$$x=\frac{1}{20}y+\frac{1}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{20}+\frac{1}{5} في المعادلة الأخرى، -3x+y=-7.

$$-3\left(\frac{1}{20}y+\frac{1}{5}\right)+y=-7$$

اضرب -3 في \frac{y}{20}+\frac{1}{5}.

$$-\frac{3}{20}y-\frac{3}{5}+y=-7$$

اجمع -\frac{3y}{20} مع y.

$$\frac{17}{20}y-\frac{3}{5}=-7$$

أضف \frac{3}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{20}y=-\frac{32}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{20}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{128}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{128}{17} في x=\frac{1}{20}y+\frac{1}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{20}\left(-\frac{128}{17}\right)+\frac{1}{5}$$

اضرب \frac{1}{20} في -\frac{128}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{32}{85}+\frac{1}{5}$$

اجمع \frac{1}{5} مع -\frac{32}{85} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{3}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{17},y=-\frac{128}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$7+y-3x=0$$

اطرح 7 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$y-3x=-7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$20x-y=4,-3x+y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{20-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{20-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{20}{20-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{20}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 4+\frac{1}{17}\left(-7\right)\\\frac{3}{17}\times 4+\frac{20}{17}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\\-\frac{128}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{3}{17},y=-\frac{128}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$7+y-3x=0$$

اطرح 7 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$y-3x=-7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$20x-y=4,-3x+y=-7$$

لجعل 20x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 20.

$$-3\times 20x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,20\left(-3\right)x+20y=20\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$-60x+3y=-12,-60x+20y=-140$$

اطرح -60x+20y=-140 من -60x+3y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-60x+60x+3y-20y=-12+140$$

اجمع -60x مع 60x. حذف الحدين -60x و60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-20y=-12+140$$

اجمع 3y مع -20y.

$$-17y=-12+140$$

اجمع -12 مع 140.

$$-17y=128$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=-\frac{128}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{128}{17} في -3x+y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-\frac{128}{17}=-7$$

أضف \frac{128}{17} إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=\frac{9}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{3}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{3}{17},y=-\frac{128}{17}$$